Exercice :
Soit \( n \in \mathbb{N}^{*} \) avec \( n \geq 2 \).
On définit la relation de congruence modulo n dans \( \mathbb{Z} \), notée \( \equiv [n] \), par :
\( \forall a, b \in \mathbb{Z}, a \equiv b[n] \Leftrightarrow \exists \mathrm{k} \in \mathbb{Z}, a=b+k n \)
1) Montrer que \( \equiv[n] \) est une relation d'équivalence dans \( \mathbb{Z}. \)
On note \( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \) l'ensemble de toutes les classes d'équivalences de la relation \( \equiv[n] \). Autrement dit \( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}=\mathbb{Z} / \equiv[n]\)
2) Montrer que \( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}=\{\overline{0} ; \overline{1} ; \ldots ; \overline{n-1}\} \)
3) Montrer que \( card (\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})=n \)
Corrigé :
1) Montrons que la congruence modulo \(n\) est une relation d'équivalence sur \(\mathbb{Z}\).
Réflexivité :
Soit \(a\in\mathbb{Z}\).
On a \(a=a+0\times n\), avec \(0\in\mathbb{Z}\).
Donc \(a\equiv a\ [n]\).
Ainsi, la relation est réflexive.
Symétrie :
Soient \(a,b\in\mathbb{Z}\) tels que \(a\equiv b\ [n]\).
Il existe donc \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a=b+kn\).
On en déduit que \(b=a+(-k)n\).
Or \(-k\in\mathbb{Z}\), donc \(b\equiv a\ [n]\).
Ainsi, la relation est symétrique.
Transitivité :
Soient \(a,b,c\in\mathbb{Z}\) tels que \(a\equiv b\ [n]\) et \(b\equiv c\ [n]\).
Il existe donc \(k,l\in\mathbb{Z}\) tels que\[a=b+kn\quad\text{et}\quad b=c+ln.\]
Ainsi,\[a=c+(k+l)n.\]Or \(k+l\in\mathbb{Z}\), donc \(a\equiv c\ [n]\).
Ainsi, la relation est transitive.
Conclusion :
La congruence modulo \(n\) est une relation d'équivalence sur \(\mathbb{Z}\).
2) Montrons que \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{n-1}\}\).
Soit \(\overline{a}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), avec \(a\in\mathbb{Z}\).
D'après la division euclidienne de \(a\) par \(n\), il existe un unique couple \((q,r)\in\mathbb{Z}^2\) tel que\[a=nq+r\quad\text{avec}\quad 0\leq r<n.\]
On a donc \(a\equiv r\ [n]\), d'où \(\overline{a}=\overline{r}\).
Or \(r\in\{0,1,\ldots,n-1\}\), donc\[\overline{a}\in\{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{n-1}\}.\]Ainsi,\[\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\subset\{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{n-1}\}.\]Réciproquement, pour tout \(r\in\{0,1,\ldots,n-1\}\), on a \(r\in\mathbb{Z}\), donc \(\overline{r}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).
Par conséquent,\[\{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{n-1}\}\subset\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.\]
D'où\[\boxed{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{n-1}\}}.\]
3) Montrons que \(\operatorname{card}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=n\).
D'après la question précédente,\[\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{n-1}\}.\]
Montrons que ces \(n\) classes d'équivalence sont deux à deux distinctes.
Soient \(i,j\in\{0,1,\ldots,n-1\}\) tels que \(\overline{i}=\overline{j}\).
On a alors \(i\equiv j\ [n]\).
Il existe donc \(k\in\mathbb{Z}\) tel que\[i-j=kn.\]
Or \(0\leq i,j\leq n-1\), donc\[-(n-1)\leq i-j\leq n-1.\]
Ainsi,\[-n<kn<n.\]
En divisant par \(n>0\), on obtient\[-1<k<1.\]
Puisque \(k\in\mathbb{Z}\), on en déduit que \(k=0\).
Par conséquent, \(i=j\).
Les classes \(\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{n-1}\) sont donc deux à deux distinctes.
Ainsi,\[\boxed{\operatorname{card}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=n}.\]