Exercice :
Soient \(E\) un ensemble, \(A\) une partie de \(E\) et \(\varphi : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E)\) l'application définie par :\[\forall X \in \mathcal{P}(E),\quad \varphi(X)=X \cup A.\]
Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
i) \(\varphi\) est injective.
ii) \(A=\varnothing\).
iii) \(\varphi\) est surjective.
Corrigé :
Montrons que i) \(\Rightarrow\) ii).
On suppose que \(\varphi\) est injective.
On a \(\varphi(A)=A \cup A=A\).
Et \(\varphi(\varnothing)=\varnothing \cup A=A\).
Donc \(\varphi(A)=\varphi(\varnothing)\).
Puisque \(\varphi\) est injective, alors \(A=\varnothing\).
Montrons que ii) \(\Rightarrow\) i) et ii) \(\Rightarrow\) iii).
On suppose que \(A=\varnothing\).
Donc, pour tout \(X \in \mathcal{P}(E)\), on a :\[\begin{aligned}\varphi(X)&=X \cup A\\&=X \cup \varnothing\\&=X.\end{aligned}\]
Donc \(\varphi=\operatorname{id}_{\mathcal{P}(E)}\).
Ainsi, \(\varphi\) est bijective.
Par conséquent, \(\varphi\) est injective et surjective.
Montrons que iii) \(\Rightarrow\) ii).
On suppose que \(\varphi\) est surjective.
Donc \(\exists X \in \mathcal{P}(E),\ \varphi(X)=\varnothing\).
D'où \(X \cup A=\varnothing\).
Or \(A \subset X \cup A\), donc \(A \subset \varnothing\).
Par conséquent, \(A=\varnothing\).
On vient de montrer que les trois assertions sont équivalentes.