Exercice :
Résoudre dans \( \mathbb{C}\) le système \( \left\{\begin{array}{l}|z-1| \leq 1 \\ |z+1| \leq 1\end{array}\right.\)
Corrigé :
Soit \(z \in \mathbb{C}\).
\[\begin{aligned}\begin{cases}|z-1| \leq 1\\|z+1| \leq 1\end{cases}&\Leftrightarrow\begin{cases}|z-1|^2 \leq 1\\|z+1|^2 \leq 1\end{cases}\\[2mm]&\Leftrightarrow\begin{cases}(z-1)(\overline{z}-1)\leq 1\\(z+1)(\overline{z}+1)\leq 1\end{cases}\\[2mm]&\Leftrightarrow\begin{cases}z\overline{z}-z-\overline{z}+1\leq 1\\z\overline{z}+z+\overline{z}+1\leq 1\end{cases}\\[2mm]&\Leftrightarrow\begin{cases}|z|^2-z-\overline{z}\leq 0\\|z|^2+z+\overline{z}\leq 0\end{cases}\\[2mm]&\Rightarrow 2|z|^2\leq 0\\[2mm]&\Rightarrow |z|^2\leq 0\\[2mm]&\Rightarrow z=0.\end{aligned}\]
Réciproquement, \(z=0\) est solution du système.
On conclut finalement que \(S=\{0\}\).