Exercice :
1) Montrer que s'il existe \( x, y, z \in \mathbb{R} \) tels que \( e^{ix} + e^{iy} + e^{iz} = 0 \) alors \( e^{i(y - x)} \) est solution de l’équation \( 1 + w + w^2 = 0 \).
2) Déterminer les réels \( x, y, z \in \mathbb{R} \) vérifiant \( e^{ix} + e^{iy} + e^{iz} = 0 \).
Corrigé :
1) Si \(e^{ix}+e^{iy}+e^{iz}=0\), alors\[1+e^{i(y-x)}+e^{i(z-x)}=0.\]
Donc\[\operatorname{Im}\left(e^{i(y-x)}+e^{i(z-x)}\right)=0.\]
Ainsi,\[\sin(y-x)+\sin(z-x)=0.\]
Donc\[y-x\equiv -(z-x)\ [2\pi]\quad \text{ou} \quad y-x\equiv z-x+\pi\ [2\pi].\]
Si \(y-x\equiv z-x+\pi\ [2\pi]\), alors\[\cos(y-x)=-\cos(z-x).\]
L'équation\[1+e^{i(y-x)}+e^{i(z-x)}=0\]devient alors \(1=0\), ce qui est absurde.
Donc\[y-x\equiv -(z-x)\ [2\pi].\]
Par conséquent,\[e^{i(z-x)}=e^{-i(y-x)}.\]
L'équation\[1+e^{i(y-x)}+e^{i(z-x)}=0\]devient\[1+e^{i(y-x)}+e^{-i(y-x)}=0.\]
En multipliant par \(e^{i(y-x)}\), on trouve\[e^{i(y-x)}+e^{2i(y-x)}+1=0.\]
Ainsi, \(e^{i(y-x)}\) est solution dans \(\mathbb{C}\) de l'équation\[1+z+z^2=0.\]
2) On suppose qu'il existe \(x,y,z\in\mathbb{R}\) vérifiant\[e^{ix}+e^{iy}+e^{iz}=0.\]
D'après la première question, \(e^{i(y-x)}\) est solution dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(1+\omega+\omega^2=0\).
Ainsi,\[e^{i(y-x)}=j \quad \text{ou} \quad e^{i(y-x)}=j^2,\]où \(j=e^{\frac{2i\pi}{3}}\).
Si \(e^{i(y-x)}=j=e^{\frac{2i\pi}{3}}\), alors\[e^{i(z-x)}=\overline{j}=j^2=e^{\frac{4i\pi}{3}}.\]
Alors\[y-x\equiv \frac{2\pi}{3}\ [2\pi]\quad \text{et} \quad z-x\equiv \frac{4\pi}{3}\ [2\pi].\]
Donc\[y\equiv x+\frac{2\pi}{3}\ [2\pi]\quad \text{et} \quad z\equiv x+\frac{4\pi}{3}\ [2\pi].\]Si \(e^{i(y-x)}=j^2=e^{\frac{4i\pi}{3}}\), alors\[e^{i(z-x)}=j=e^{\frac{2i\pi}{3}}.\]
Donc\[y-x\equiv \frac{4\pi}{3}\ [2\pi]\quad \text{et} \quad z-x\equiv \frac{2\pi}{3}\ [2\pi].\]
Donc\[y\equiv x+\frac{4\pi}{3}\ [2\pi]\quad \text{et} \quad z\equiv x+\frac{2\pi}{3}\ [2\pi].\]
Réciproquement, si \(x\in\mathbb{R}\) et
\[
y\equiv x+\frac{2\pi}{3}\ [2\pi]
\quad \text{et} \quad
z\equiv x+\frac{4\pi}{3}\ [2\pi],
\]
alors
\[
e^{i(y-x)}=j
\quad \text{et} \quad
e^{i(z-x)}=j^2.
\]
Donc
\[
1+e^{i(y-x)}+e^{i(z-x)}=1+j+j^2=0.
\]
D'où
\[
e^{ix}+e^{iy}+e^{iz}=0.
\]
De même, si \(x\in\mathbb{R}\) et
\[
y\equiv x+\frac{4\pi}{3}\ [2\pi]
\quad \text{et} \quad
z\equiv x+\frac{2\pi}{3}\ [2\pi],
\]
alors
\[
e^{i(y-x)}=j^2
\quad \text{et} \quad
e^{i(z-x)}=j.
\]
Donc
\[
1+e^{i(y-x)}+e^{i(z-x)}=1+j^2+j=0.
\]
D'où
\[
e^{ix}+e^{iy}+e^{iz}=0.
\]
On conclut alors que
\[S=\left\{\begin{aligned}&\left(x,\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\frac{4\pi}{3}+2k'\pi\right),\\&\left(x,\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{2\pi}{3}+2k'\pi\right)\end{aligned}\;\middle|\; x\in\mathbb{R},\ k,k'\in\mathbb{Z}\right\}.\]