Utiliser les racines quatrièmes de l’unité pour résoudre une équation

On veut résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation\[(E) : 1+\frac{z+i}{z-i}+\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^2+\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^3=0.\]
On suppose que l'équation \((E)\) admet une solution \(z\).
Alors, nécessairement, \(z\neq i\).
On pose \(x=\frac{z+i}{z-i}\).
On a alors\[1+x+x^2+x^3=0.\]Si \(x=1\), alors \(4=0\), ce qui est absurde.
Donc \(x\neq 1\).
Or,\[1+x+x^2+x^3=\frac{x^4-1}{x-1}.\]
Donc \(x^4-1=0\).D'où \(x^4=1\).
Ainsi, \(x=-1\), \(x=i\) ou \(x=-i\), car \(x\) est une racine quatrième de l'unité.
Premier cas : si \(x=-1\), alors\[\frac{z+i}{z-i}=-1.\]
Donc \(z+i=-z+i\).D'où \(z=0\).
Deuxième cas : si \(x=i\), alors\[\frac{z+i}{z-i}=i.\]
Donc \(z+i=iz+1\).Ainsi, \((1-i)z=1-i\).D'où \(z=1\).
Troisième cas : si \(x=-i\), alors\[\frac{z+i}{z-i}=-i.\]
Donc \(z+i=-iz-1\).Ainsi, \((1+i)z=-1-i\).D'où \(z=-1\).
Réciproquement, si \(z\in\{0,1,-1\}\), alors \(z\) est une solution de \((E)\).
On conclut finalement que\[S=\{0,1,-1\}.\]