Dans ce qui suit, nous vous présentons une liste de développements limités (DL) usuels.
DL de \(x \mapsto \frac{1}{1-x}\) et de \(x \mapsto \frac{1}{1+x}\)
On a :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff] {
\frac{1}{1-x} \underset{x \rightarrow 0}{=} 1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+o\left(x^{n}\right) }
\]
Autrement dit :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff] {
\frac{1}{1-x}\underset{x \rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n} x^{k}+o\left(x^{n}\right) }
\]
En remplaçant \(x\) par \(-x\) dans cette formule, on trouve :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff] {
\frac{1}{1+x} \underset{x \rightarrow 0}{=} 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots+(-1)^{n}x^{n}+o\left(x^{n}\right) }
\]
Autrement dit :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff] {
\frac{1}{1+x}\underset{x \rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{k}+o\left(x^{n}\right) }
\]
Remarque :
On utilise ces deux développements limités pour obtenir le DL de l’inverse.
DL de exp
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\),
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
e^{x}\underset{x\rightarrow 0}{=}1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+o\left(x^{n}\right) }
\]
Autrement dit, le DL de \(\exp\) en 0 à l’ordre \(n\) est :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
e^{x}\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}+o\left(x^{n}\right) }
\]
DL de \(x \mapsto (1+x)^{\alpha}\)
Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}\)
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
(1+x)^{\alpha} \underset{x \rightarrow 0}{=} 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^{n}+o\left(x^{n}\right) }
\]
Autrement dit :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
(1+x)^{\alpha}\underset{x \rightarrow 0}{=}1+\sum_{k=1}^{n} \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}x^{k}+o\left(x^{n}\right) }
\]
En particulier, lorsque \(\alpha=\frac{1}{2}\)
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
\sqrt{1+x}\underset{x \rightarrow 0}{=}1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{16}x^{3}-\frac{5}{128}x^{4}+o\left(x^{4}\right) }
\]
Développement limité de cos
Pour tout \( n \in \mathbb{N} \),
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{ \cos(x) \underset{x \rightarrow 0}{=}
1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}
+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}
+o\left(x^{2n+1}\right) }
\]
Autrement dit, le DL de cos en \( 0 \) à l’ordre \( 2n+1 \) est :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
\cos(x)\underset{x \rightarrow 0}{=}
\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}
+o\left(x^{2n+1}\right) }
\]
DL de sin
Pour tout \( n \in \mathbb{N} \),
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
\sin(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}
x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}
+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
+o\left(x^{2n+2}\right) }
\]
Autrement dit, le DL de \( \sin \) en \( 0 \) à l’ordre \( 2n+2 \) est :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
\sin(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}
\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
+o\left(x^{2n+2}\right) }
\]
DL de ln
Pour tout \( n \in \mathbb{N}^{*} \),
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
\ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{=}x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}+o\left(x^{n}\right) }
\]
Autrement dit, le DL de ln en \( 0 \) à l’ordre \( n \) est :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
\ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\frac{x^{k}}{k}+o\left(x^{n}\right) }
\]
DL de tan
Le DL de tan en 0 à l’ordre 8 est
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
\tan(x) \underset{x \rightarrow 0}{=} x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\frac{17}{315}x^{7}+o\left(x^{8}\right) }
\]
DL de arctan
Pour tout \( n \in \mathbb{N} \),
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{\arctan(x) \underset{x \rightarrow 0}{=} x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o\left(x^{2n+2}\right) }\]
Autrement dit, le DL de \(\arctan\) en 0 à l’ordre \( 2n+2 \) est :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{\arctan(x) \underset{x \rightarrow 0}{=} \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}+o\left(x^{2n+2}\right)} \]
DL de sinh
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\),
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{ \sinh(x) \underset{x \rightarrow 0}{=} x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\frac{x^{7}}{7!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\left(x^{2n+2}\right) }\]
Autrement dit, le DL de \(\sinh\) en 0 à l’ordre \(2n+1\) est :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{\sinh(x)\underset{x \rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o\left(x^{2n+2}\right) }\]
Astuce : Pour mémoriser le DL de \(\sinh\), il suffit de reprendre les coefficients d’indices impairs du développement limité de \(\exp\) \( \displaystyle \left(e^{x}\underset{x \rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}+o\left(x^{n}\right)\right)\).
DL de cosh
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{\cosh(x) \underset{x \rightarrow 0}{=} 1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{6}}{6!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o\left(x^{2n+1}\right) }\]
Autrement dit, le \(DL\) de \(\cosh\) en 0 à l’ordre \(2n\) est :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
\cosh(x)\underset{x \rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{2k}}{(2k)!}+o\left(x^{2n+1}\right) }
\]
Astuce : Pour mémoriser le DL de \(\cosh\), il suffit de reprendre les coefficients d’indices pairs du développement limité de \(\exp\) \( \displaystyle \left(e^{x} \underset{x \rightarrow 0}{=} \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}+o\left(x^{n}\right)\right)\).