Dans ce qui suit, nous allons présenter la formule du développement limité en 0 de \(\tan\), nous allons ensuite la démontrer par plusieurs méthodes et enfin nous allons présenter une application du DL de \(\tan\) dans la recherche des équivalents et le calcul des limites.
DL de tan en 0
Le développement limité de \(\tan\) en 0 à l’ordre 6 est le suivant :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff] {
\tan(x)\underset{x \rightarrow 0}{=}x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15}x^{5}+o\left(x^{6}\right) }
\]
Dans la suite, nous allons démontrer ce DL par plusieurs méthodes.
Méthode 1 : Obtention du DL en utilisant \(\tan=\frac{\sin}{\cos}\)
On constate que \(\tan\) est impaire, donc on peut se contenter d’un DL à l’ordre 5.
On a \(\sin(x)\underset{x \rightarrow 0}{=}x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+o\left(x^{5}\right)\)
Et \(\cos(x) \underset{x \rightarrow 0}{=} 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+o\left(x^{5}\right)\)
Et \(\frac{1}{1-y}\underset{x \rightarrow 0}{=}1+y+y^{2}+o\left(y^{2}\right)\)
On procède à un changement de variable \(y=\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}+o\left(x^{5}\right)\)
Donc
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\cos(x)} & \underset{x \rightarrow 0}{=}\frac{1}{1-\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}+o\left(x^{5}\right)\right)} \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}1+\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}\right)+\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}\right)^{2}+o\left(x^{4}\right) \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}+\frac{x^{4}}{4}+o\left(x^{4}\right) \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{5}{24}x^{4}+o\left(x^{4}\right) \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{5}{24}x^{4}+o\left(x^{5}\right) \quad \text{(car \(\frac{1}{\cos}\) est paire)}
\end{aligned}
\]
Ainsi
\[
\begin{aligned}
\tan(x) & =\sin(x)\cdot\frac{1}{\cos(x)} \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}\left(x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+o\left(x^{5}\right)\right)\left(1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{5}{24}x^{4}+o\left(x^{5}\right)\right) \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}x+\frac{x^{3}}{2}+\frac{5}{24}x^{5}-\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{5}}{12}+\frac{x^{5}}{120}+o\left(x^{5}\right) \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}x+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+o\left(x^{5}\right) \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}x+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+o\left(x^{6}\right) \quad \text{(car \(\tan\) est impaire)}
\end{aligned}
\]
Méthode 2 : On obtient le DL de \(\tan\) par \(\tan'=\frac{1}{\cos^{2}}\)
On a \(\forall x \in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[, \tan'(x)=\frac{1}{\cos^{2}(x)}=(\cos(x))^{-2}\)
On a \(\cos(x) \underset{x \rightarrow 0}{=} 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+o\left(x^{4}\right)\)
On a \((1+y)^{-2}\underset{y \rightarrow 0}{=}1-2y+3y^{2}+o\left(y^{2}\right)\)
Par le changement de variable \(y=-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+o\left(x^{4}\right)\)
\[
\begin{aligned}
\tan'(x) & =(\cos(x))^{-2} \\ & \underset{x \rightarrow 0}{=}1-2\left(-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}\right)+3\left(-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}\right)^{2}+o\left(x^{4}\right) \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}1+x^{2}-\frac{x^{4}}{12}+\frac{3}{4}x^{4}+o\left(x^{4}\right) \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}1+x^{2}+\frac{2}{3}x^{4}+o\left(x^{4}\right)
\end{aligned}
\]
En intégrant ce développement limité :
\[
\begin{aligned}
\tan(x) & \underset{x \rightarrow 0}{=}\tan(0)+x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15}x^{5}+o\left(x^{5}\right) \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15}x^{5}+o\left(x^{5}\right) \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15}x^{5}+o\left(x^{6}\right) \quad \text{(car \(\tan\) est impaire)}
\end{aligned}
\]
Méthode 3 : On obtient le DL en utilisant \(\tan=\left(-\ln(\cos)\right)'\)
On a \(\forall x \in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[, \tan(x)=-\frac{\cos'(x)}{\cos(x)}=\left(-\ln(\cos)\right)'(x)\)
Et \( \cos(x)\underset{x \rightarrow 0}{=}1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{6!}+o\left(x^{6}\right)\)
On a aussi \( \ln(1+y)\underset{y \rightarrow 0}{=}y-\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{3}}{3}+o\left(y^{3}\right) \)
En prenant \(y=-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{6!}+o\left(x^{6}\right)\)
On a alors,
\[
\begin{aligned}
\ln(\cos(x)) & \underset{x \rightarrow 0}{=} \left(-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{6!}\right)
-\frac{1}{2}\left(-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}\right)^{2}
+\frac{1}{3}\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)^{3}
+o\left(x^{6}\right) \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}
-\frac{1}{8}x^{4}+\frac{1}{48}x^{6}
-\frac{1}{24}x^{6}
+o\left(x^{6}\right) \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}-\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{45}x^{6}+o\left(x^{6}\right)
\end{aligned}
\]
Or \(\tan\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), donc par la formule de Taylor-Young, elle admet un DL à tout ordre en 0, en particulier à l’ordre 5.
Donc en dérivant le développement limité de \(-\ln(\cos(x))\), on trouve :
\[
\begin{aligned}
\tan(x) & =(-\ln(\cos(x)))’ \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}x+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+o\left(x^{5}\right) \\
& \underset{x \rightarrow 0}{=}x+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+o\left(x^{6}\right) \quad \text{(car \(\tan\) est impaire)}
\end{aligned}
\]