Dans ce qui suit, nous allons présenter la formule du développement limité en 0 de la fonction exponentielle, nous allons ensuite la démontrer et en fin on va présenter une application du DL de exp dans la recherche des équivalents et le calcul des limites.
DL de exp en 0
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\),
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
e^{x}\underset{x\rightarrow 0}{=}1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+o\left(x^{n}\right) }
\]
Autrement dit, le DL de \(\exp\) en 0 à l’ordre \(n\) est :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
e^{x}\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}+o\left(x^{n}\right) }
\]
Démonstration de la formule du développement limité de exp
On sait que la fonction \(\exp\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\), donc par la formule de Taylor-Young, elle admet un DL en tout ordre en 0 et le développement limité est:
\[
\begin{aligned}
& e^{x}\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n} \frac{\exp^{(k)}(0)}{k!} x^{k}+o\left(x^{n}\right) \\
& e^{x}\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n} \frac{\exp(0)}{k!} x^{k}+o\left(x^{n}\right) \\
& e^{x}\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}+o\left(x^{n}\right)
\end{aligned}
\]
Exemples de DL de exp
- Le DL à l’ordre 0 de \(\exp\) en 0 est:
\[
e^{x}\underset{x \rightarrow 0}{=}1+o(1)
\]
- Le DL à l’ordre 1 de \(\exp\) en 0 est:
\[
e^{x}\underset{x \rightarrow 0}{=}1+x+o(x)
\]
- Le DL à l’ordre 2 de \(\exp\) en 0 est:
\[
e^{x}\underset{x \rightarrow 0}{=}1+x+\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)
\]
- Le DL à l’ordre 3 de \(\exp\) en 0 est:
\[
e^{x}\underset{x \rightarrow 0}{=}1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+o\left(x^{3}\right)
\]
- Le DL à l’ordre 4 de \(\exp\) en 0 est:
\[
e^{x} \underset{x \rightarrow 0}{=} 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+o\left(x^{4}\right)
\]
Applications du développement limité de exp
Puisqu’on a \( e^{x} \underset{x \rightarrow 0}{=} 1+x+o(x) \) alors \( e^{x}-1 \underset{x \rightarrow 0}{=} x+o(x) \)
En particulier, on obtient l’équivalent suivant: \( e^{x}-1 \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
Ce qui signifie que
\[
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \neq 0}} \frac{e^{x}-1}{x}=1
\]
On a aussi \( e^{x} \underset{x \rightarrow 0}{=} 1+x+\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right) \)
Donc
\[
e^{x}-1-x \underset{x \rightarrow 0}{=} \frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)
\]
On obtient alors l’équivalent :
\[
e^{x}-1-x \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \frac{x^{2}}{2}
\]
En particulier
\[
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \neq 0}} \frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}=\frac{1}{2}
\]
exp DL, exercices corrigés
Retrouver sur cette page des exercices corrigés sur les développements limités et en particulier sur le DL de exp.