Dans ce qui suit, nous allons présenter la formule du développement limité en \( 0 \) de la fonction sinus, nous allons ensuite la démontrer et enfin nous allons présenter une application de cette formule dans la recherche des équivalents et le calcul des limites.
DL de sin en 0
Pour tout \( n \in \mathbb{N} \),
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
\sin(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}
x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}
+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
+o\left(x^{2n+2}\right) }
\]
Autrement dit, le DL de \( \sin \) en \( 0 \) à l’ordre \( 2n+2 \) est :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
\sin(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}
\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
+o\left(x^{2n+2}\right) }
\]
Astuce : Pour mémoriser le DL de \( \sin \), il suffit de reprendre les coefficients d’indices impairs du développement limité de l’exponentielle \( ( e^{x}\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}+o(x^{n}) ) \) en alternant les signes \( + \) et \( – \).
Démonstration de la formule du développement limité de sinus
Montrons d’abord que \( \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{R}, \quad \sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\frac{\pi}{2}\right) \).
On va utiliser un raisonnement par récurrence.
Pour \( n=0 \), \( \forall x \in \mathbb{R}, \quad \sin^{(0)}(x)=\sin(x) \).
La formule est vraie pour \( n=0 \).
Soit \( n \in \mathbb{N} \). On suppose que \( \forall x \in \mathbb{R}, \sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\frac{\pi}{2}\right) \).
Donc
\[
\begin{aligned} \forall x \in \mathbb{R}, \quad \sin^{(n+1)}(x) &= \left(\sin^{(n)}\right)'(x) \\
& =\left(\sin\left(x+n\frac{\pi}{2}\right)\right)’ \\
& =\cos\left(x+n\frac{\pi}{2}\right) \\
& =\sin\left(x+n\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right) \\
& =\sin\left(x+(n+1)\frac{\pi}{2}\right)
\end{aligned}
\]
Ainsi, par le principe de la récurrence, \( \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{R}, \sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\frac{\pi}{2}\right) \).
On passe ensuite à la preuve du DL de sin :
On sait que la fonction sin est de classe \( C^{\infty} \) sur \( \mathbb{R} \), donc par la formule de Taylor-Young, elle admet un DL en tout ordre en \( 0 \) et le développement limité est :
\[
\begin{aligned}
\sin(x)
&\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{2n+2}\frac{\sin^{(k)}(0)}{k!}x^{k}
+o\left(x^{2n+2}\right) \\
&\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{2n+2}\frac{\sin\left(k\frac{\pi}{2}\right)}{k!}x^{k}
+o\left(x^{2n+2}\right) \\
&\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
+o\left(x^{2n+2}\right)
\end{aligned}
\]
Exemples de DL de sin
- Le DL à l’ordre \( 0 \) de sin en \( 0 \) est :
\[
\sin(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}o(1)
\]
- Le DL à l’ordre 1 de \( \sin \) en 0 est :
\[
\sin(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}x+o(x)
\]
- Le DL à l’ordre 2 de sin en 0 est :
\[
\sin(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}x+o\left(x^{2}\right)
\]
- Le DL à l’ordre 3 de sin en 0 est :
\[
\sin(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}x-\frac{x^{3}}{6}+o\left(x^{3}\right)
\]
- Le DL à l’ordre 4 de sin en 0 est :
\[
\sin(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}x-\frac{x^{3}}{6}+o\left(x^{4}\right)
\]
- Le DL à l’ordre 5 de sin en 0 est :
\[
\sin(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+o\left(x^{5}\right)
\]
Applications du développement limité de cosinus
Puisqu’on a \( \sin(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}x+o(x) \)
En particulier, on obtient l’équivalent suivant : \( \sin(x)\underset{x\rightarrow 0}{\sim}x \)
Ce qui signifie que \[ \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ x\neq 0}} \frac{\sin(x)}{x}=1
\]
On a aussi \( \sin(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}x-\frac{x^{3}}{6}+o\left(x^{3}\right) \)
Donc \( \sin(x)-x\underset{x\rightarrow 0}{=}-\frac{x^{3}}{6}+o\left(x^{3}\right) \)
On obtient alors l’équivalent : \( \sin(x)-x\underset{x\rightarrow 0}{\sim}-\frac{x^{3}}{6} \)
En particulier \( \displaystyle \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ x\neq 0}} \frac{\sin(x)-x}{x^{3}}=-\frac{1}{6} \)