Dans ce qui suit, nous allons présenter la formule du développement limité en \( 0 \) de la fonction cosinus, nous allons ensuite la démontrer et enfin nous allons faire quelques exercices d’application pour bien maîtriser le DL de cos.
DL de cos en 0 :
Pour tout \( n \in \mathbb{N} \),
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{ \cos(x) \underset{x \rightarrow 0}{=}
1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}
+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}
+o\left(x^{2n+1}\right) }
\]
Autrement dit, le DL de cos en \( 0 \) à l’ordre \( 2n+1 \) est :
\[ \bbox[8px,border:2px solid blue;background:#e6f2ff]{
\cos(x)\underset{x \rightarrow 0}{=}
\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}
+o\left(x^{2n+1}\right) }
\]
Astuce : Pour mémoriser le DL de cos, il suffit de reprendre les coefficients d’indices pairs du développement limité de l’exponentielle ( \( \displaystyle e^{x}\underset{x \rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}+o(x^{n}) \) ) en alternant les signes \( + \) et \( – \).
Démonstration de la formule du développement limité de cosinus :
Montrons d’abord que \( \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{R}, \quad \cos^{(n)}(x)=\cos\left(x+n\frac{\pi}{2}\right) \).
On va utiliser un raisonnement par récurrence.
Pour \( n=0 \), \( \forall x \in \mathbb{R}, \quad \cos^{(0)}(x)=\cos(x) \).
La formule est vraie pour \( n=0 \).
Soit \( n \in \mathbb{N} \). On suppose que
\( \forall x \in \mathbb{R}, \quad \cos^{(n)}(x)=\cos\left(x+n\frac{\pi}{2}\right) \).
Donc
\[
\begin{aligned}
\forall x \in \mathbb{R}, \quad
\cos^{(n+1)}(x)
&=\left(\cos^{(n)}\right)'(x) \\
&=-\sin\left(x+n\frac{\pi}{2}\right) \\
&=\cos\left(x+n\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right) \\
&=\cos\left(x+(n+1)\frac{\pi}{2}\right)
\end{aligned}
\]
Ainsi, par le principe de la récurrence,
\( \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{R}, \quad
\cos^{(n)}(x)=\cos\left(x+n\frac{\pi}{2}\right) \).
On passe ensuite à la preuve du DL de cos.
On sait que la fonction cos est de classe \( C^{\infty} \) sur \( \mathbb{R} \), donc par la formule de Taylor-Young, elle admet un DL en \( 0 \) et ce développement limité est :
\[
\begin{aligned}
\cos(x)
&\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{\cos^{(k)}(0)}{k!}x^{k}
+o\left(x^{2n+1}\right) \\
&\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{2n+1}
\frac{\cos\left(k\frac{\pi}{2}\right)}{k!}x^{k}
+o\left(x^{2n+1}\right) \\
&\underset{x\rightarrow 0}{=}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}
+o\left(x^{2n+1}\right)
\end{aligned}
\]
Exemples de DL de cos
- Le DL à l’ordre \( 0 \) de cos en \( 0 \) est :
\[
\cos(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}1+o(1)
\]
- Le DL à l’ordre 1 de cos en 0 est :
\[
\cos(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}1+o(x)
\]
- Le DL à l’ordre 2 de cos en 0 est :
\[
\cos(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}1-\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)
\]
- Le DL à l’ordre 3 de cos en 0 est :
\[ \cos(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}1-\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{3}\right) \] - Le DL à l’ordre 4 de cos en 0 est :
\[ \cos(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+o\left(x^{4}\right) \] - Le DL à l’ordre 5 de cos en 0 est :
\[ \cos(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+o\left(x^{5}\right) \]
Application du développement limité de cos :
Puisque \( \cos(x)\underset{x\rightarrow 0}{=}1-\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right) \), alors \( \cos(x)-1 \underset{x\rightarrow 0}{=} -\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right) \).
En particulier, on obtient l’équivalent suivant : \( \cos(x)-1 \underset{x\rightarrow 0}{\sim} -\frac{x^{2}}{2} \).
On a donc \( \frac{1-\cos(x)}{x^{2}} \underset{x\rightarrow 0}{\sim} \frac{1}{2} \).
Ce qui signifie que \( \displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \neq 0}}
\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}=\frac{1}{2} \).