Dans ce cours, nous présentons les sommes de Riemann, également appelées méthode des rectangles, puis nous proposons des exercices corrigés afin de bien maîtriser ce concept.
Proposition :
Soit \( f \) une fonction continue sur \( [a,b] \) avec \( a<b \).
Pour tout \( n \in \mathbb{N}^{*} \), on pose
\[
R_{n,g}=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)
\quad \text{et} \quad
R_{n,d}=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(a+k\frac{b-a}{n}\right).
\]
Les suites \( (R_{n,g}) \) et \( (R_{n,d}) \) convergent vers \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx \).
Autrement dit,
\[
\lim_{n\to+\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}
f\!\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)
=\int_{a}^{b} f(x)\,dx
=\lim_{n\to+\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}
f\!\left(a+k\frac{b-a}{n}\right).
\]
Exercice 1
Calculer la limite de la suite \( (U_n) \) définie par :
\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad
U_n=\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(1+\frac{2k}{n}\right)^2.
\].
Corrigé
Méthode 1 :
\[
\begin{aligned}
U_n &= \frac{2-0}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(1+0+k\frac{2-0}{n}\right)^2 \\
&= \frac{2-0}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(0+k\frac{2-0}{n}\right)^2
\end{aligned}
\]
Avec \( f : x \mapsto (1+x)^2 \).
On reconnaît donc une somme de Riemann.
Ainsi,
\[
\lim_{n\to+\infty} U_n
= \int_{0}^{2} f(x)\,dx
= \int_{0}^{2}(1+x)^2\,dx.
\]
\[
= \left[\frac{(1+x)^3}{3}\right]_{0}^{2}
= 9-\frac{1}{3}.
\]
Donc,
\[
\lim_{n\to+\infty} U_n=\frac{26}{3}.
\]
Méthode 2 :
\[
\begin{aligned}
U_n &= \frac{3-1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(1+k\frac{3-1}{n}\right)^2 \\
&= \frac{3-1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(1+k\frac{3-1}{n}\right)^2
\end{aligned}
\]
Avec \( f : x \mapsto x^2 \).
On reconnaît donc une somme de Riemann, donc :
\[
\begin{aligned}
\lim_{n\to+\infty} U_n &= \int_{1}^{3} f(x)\,dx \\
&= \int_{1}^{3} x^2\,dx \\
&= \left[\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{3} \\
&= \frac{27}{3}-\frac{1}{3} \\
\lim_{n\to+\infty} U_n &= \frac{26}{3}.
\end{aligned}
\]
Exercice 2
Calculer la limite de la suite \( (U_{n}) \) définie par :
\( \displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad U_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+n} \)
Corrigé
Méthode 1 :
\[
\begin{aligned}
& U_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}} \\
& U_{n}=\frac{1-0}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(0+k \frac{1-0}{n}\right)
\end{aligned}
\]
Avec \( f: x \rightarrow \frac{1}{1+x} \)
On reconnaît une somme de Riemann, donc :
\[
\begin{aligned}
\lim_{n \rightarrow +\infty} U_{n} & =\int_{0}^{1} f(x)\,dx \\
& =\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x}\,dx \\
& =[\ln(1+x)]_{0}^{1} \\
& =\ln(2)
\end{aligned}
\]
Méthode 2 :
\[
\begin{aligned}
U_{n} & =\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+n} \\
& =\frac{2-1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+k \frac{2-1}{n}} \\
U_{n} & =\frac{2-1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(1+k \frac{2-1}{n}\right)
\end{aligned}
\]
Avec \( \quad f: x \longrightarrow \frac{1}{x} \)
On reconnaît une somme de Riemann, donc :
\[
\begin{aligned}
\lim_{n \rightarrow +\infty} U_{n} & =\int_{1}^{2} f(x)\,dx \\
& =\int_{1}^{2} \frac{1}{x}\,dx \\
& =[\ln(x)]_{1}^{2} \\
& =\ln(2)
\end{aligned}
\]
Exercice 3
Calculer la limite de la suite \( \left(U_{n}\right) \) définie par : \[ \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad U_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{k^{2}+n^{2}} \]
Corrigé
\[
\begin{aligned}
U_{n} & =\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}\left(1+\frac{k^{2}}{n^{2}}\right)} \\
& =\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\frac{k}{n}}{1+\frac{k^{2}}{n^{2}}} \\
& =\frac{1-0}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)
\end{aligned}
\]
Avec \( f: x \rightarrow \frac{x}{1+x^{2}} \)
On reconnaît une somme de Riemann, donc
\[
\begin{aligned}
\lim_{n \rightarrow +\infty} U_{n} & =\int_{0}^{1} f(x)\,dx \\
& =\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^{2}}\,dx \\
& =\left[\frac{1}{2}\ln\left(1+x^{2}\right)\right]_{0}^{1} \\
& =\frac{1}{2}\ln(2)
\end{aligned}
\]
Exercice 4
Calculer la limite de la suite \( \left(U_{n}\right) \) définie par : \( \displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad U_{n}=\sum_{k=0}^{{2n-1}} \frac{k}{k^{2}+n^{2}} \)
Corrigé
\[
\begin{aligned}
& U_{n}=\sum_{k=0}^{2 n-1} \frac{k}{n^{2}\left(1+\frac{k^{2}}{n^{2}}\right)} \\
& U_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{2 n-1} \frac{\frac{k}{n}}{1+\frac{k^{2}}{n^{2}}} \\
& U_{n}=\frac{2-0}{2 n} \sum_{k=0}^{{2n-1}} \frac{\frac{2 k}{2n}}{1+\left(\frac{2 k}{2 n}\right)^{2}} \\
& U_{n}=\frac{2-0}{2n} \sum_{k=0}^{2 n-1} f\left(0+k \frac{2-0}{2 n}\right)
\end{aligned}
\]
Avec \( f: x \rightarrow \frac{x}{1+x^{2}} \)
On reconnaît une somme de Riemann, donc :
\[
\begin{aligned}
\lim_{n \rightarrow +\infty} U_{n} & = \int_{0}^{2} f(x)\,dx \\
& = \int_{0}^{2} \frac{x}{1+x^{2}}\,dx \\
& = \left[\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)\right]_{0}^{2} \\
& = \frac{1}{2} \ln(5)
\end{aligned}
\]
Exercice 5
Calculer la limite de la suite \( \left(U_{n}\right) \) définie par : \[ \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad U_{n}=\sum_{k=n}^{2 n} \frac{1}{k} \]
Corrigé
\[
\begin{aligned}
U_{n} & =\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+k} \\
U_{n} & =\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}} \\
& =\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1+\frac{k}{n}} + \frac{1}{2n} \\
& =\frac{1-0}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(0+k \frac{1-0}{n}\right) + \frac{1}{2n}
\end{aligned}
\]
Avec \( \quad f: x \rightarrow \frac{1}{1+x} \)
D’après la formule des sommes de Riemann :
\[
\begin{aligned}
\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1-0}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(0+k \frac{1-0}{n}\right) & = \int_{0}^{1} f(x)\,dx \\
& = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x}\,dx
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
& = [\ln(1+x)]_{0}^{1} \\
& = \ln(2)
\end{aligned}
\]
Et on a \( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{2 n} = 0 \)
Donc \( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} U_{n} = \ln(2) \)
Exercice 6
Calculer la limite de la suite \( (U_n) \) définie par :
\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad U_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{n}{k^{2}+n^{2}}
\]
Corrigé
\[
\begin{aligned}
& U_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n^{2}} \frac{n}{1+\frac{k^{2}}{n^{2}}} \\
& U_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}} \\
& U_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}} + \frac{1}{2 n} \\
& U_n = \frac{1-0}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(0+k \frac{1-0}{n}\right) + \frac{1}{2 n}
\end{aligned}
\]
Avec \( f: x \rightarrow \frac{1}{1+x^{2}} \)
D’après la formule de la somme de Riemann :
\[
\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1-0}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(0+k \frac{1-0}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x)\,dx
\]
\[
\begin{aligned}
& = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx \\
& = [\operatorname{Arctan}(x)]_{0}^{1} \\
& = \frac{\pi}{4}
\end{aligned}
\]
Comme \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{2 n} = 0 \)
On trouve finalement que \( \lim_{n \rightarrow +\infty} U_n = \frac{\pi}{4} \)
Exercice 7
Calculer la limite de la suite \( (U_n) \) définie par :
\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad U_{n} = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{1}{n^{2}}+\frac{k}{n^{3}}}
\]
Corrigé
Méthode 1 :
\[
\begin{aligned}
U_{n} & = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{k}{n}} \\
& = \frac{1-0}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(0+k \frac{1-0}{n}\right)
\end{aligned}
\]
Avec \( f: x \rightarrow \sqrt{1+x} \)
On reconnaît une somme de Riemann, donc :
\[
\begin{aligned}
\lim_{n \rightarrow +\infty} U_{n} & = \int_{0}^{1} f(x)\,dx \\
& = \int_{0}^{1} \sqrt{1+x}\,dx \\
& = \left[\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1} \\
& = \frac{2}{3}\left(2^{\frac{3}{2}}-1\right)
\end{aligned}
\]
Méthode 2 :
\[
\begin{aligned}
U_{n} & = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{k}{n}} \\
& = \frac{2-1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(1+k \frac{2-1}{n}\right)
\end{aligned}
\]
Avec \( f: x \rightarrow \sqrt{x} \)
On reconnaît une somme de Riemann, donc :
\[
\begin{aligned}
\lim_{n \rightarrow +\infty} U_{n} & = \int_{1}^{2} f(x)\,dx \\
& = \int_{1}^{2} \sqrt{x}\,dx \\
& = \left[\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{2} \\
& = \frac{2}{3}\left(2^{\frac{3}{2}}-1\right)
\end{aligned}
\]