Afficher corrigé
Démonstration :1\(^\text{er}\) cas : Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles, c'est-à-dire si \(A \cap B=\varnothing\), alors, par additivité de la probabilité, \( \mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B).
\)2\(^\text{e}\) cas : Cas général :
On a \( A \cup B \)
Puisque les événements \(A\) et \(B \setminus A\) sont disjoints, alors, par additivité de la probabilité, \begin{equation*} \mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B \setminus A). \tag{*} \end{equation*} On a aussi \[ B=(A \cap B)\cup(B \setminus A). \]
\[ \mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B). \]
**Démonstration :** **1\(^\text{er}\) cas :** Si \(A\) et \(B\) sont disjoints, c'est-à-dire si \(A \cap B=\varnothing\), alors, par additivité de la probabilité, \[ \mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B). \] **2\(^\text{e}\) cas :** Cas général. On a \[ A \cup B=A \cup(B\setminus A). \] Puisque les événements \(A\) et \(B\setminus A\) sont disjoints, alors, par additivité de la probabilité, \[ \mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B\setminus A). \tag{*} \] On a aussi \[ B=(A\cap B)\cup(B\setminus A). \] Puisque les événements \(A\cap B\) et \(B\setminus A\) sont incompatibles, alors, par additivité de la probabilité, on obtient \[ \mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A\cap B)+\mathbb{P}(B\setminus A). \] Donc, \[ \mathbb{P}(B\setminus A)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B). \] En remplaçant dans \((*)\), on obtient \[ \mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B). \] Ce qui démontre la formule.